एक पुरुष $X$ के $7$ मित्र हैं,जिनमें से $4$ महिलाएँ और $3$ पुरुष हैं। उसकी पत्नी $Y$ के भी $7$ मित्र हैं,जिनमें से $3$ महिलाएँ और $4$ पुरुष हैं। मान लीजिए कि $X$ और $Y$ का कोई भी मित्र उभयनिष्ठ (common) नहीं है। तो उन तरीकों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए जिनसे $X$ और $Y$ मिलकर $3$ महिलाओं और $3$ पुरुषों को पार्टी में आमंत्रित कर सकते हैं,ताकि $X$ और $Y$ प्रत्येक के $3$ मित्र इस पार्टी में हों:
- A$484$
- B$485$
- C$468$
- D$469$
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$15$ क्रमिक रूप से क्रमांकित टिकटों में से $3$ बच्चे $10$ टिकटों को इस प्रकार वितरित करते हैं कि उन्हें $5$,$3$ और $2$ टिकटों के क्रमिक ब्लॉक प्राप्त हों,तो इसके कुल कितने तरीके हैं?
निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
$I.$ यदि $n$ एक भाज्य संख्या है,तो $n$,$(n-1)!$ को विभाजित करता है।
$II.$ ऐसी अनंत प्राकृतिक संख्याएँ $n$ हैं जिनके लिए $n^3+2n^2+n$,$n!$ को विभाजित करता है।
$I.$ यदि $n$ एक भाज्य संख्या है,तो $n$,$(n-1)!$ को विभाजित करता है।
$II.$ ऐसी अनंत प्राकृतिक संख्याएँ $n$ हैं जिनके लिए $n^3+2n^2+n$,$n!$ को विभाजित करता है।
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